%0 Journal Article
%T Maximal Virtual Schottky Groups: Explicit Constructions Grupos de Schottky virtuales maximales: construcciones expl¨ªcitas
%A RUB¨¦N A. HIDALGO
%J Revista Colombiana de Matem¨¢ticas
%D 2010
%I Universidad Nacional de Colombia and Sociedad Colombiana de Matem¨¢ticas
%X A Schottky group of rank g is a purely loxodromic Kleinian group, with non-empty region of discontinuity, isomorphic to the free group of rank g. A virtual Schottky group is a Kleinian group K containing a Schottky group ¦£ as a finite index subgroup. In this case, let g be the rank of ¦£. The group K is an elementary Kleinian group if and only if g ¡Ê {0,1}. Moreover, for each g ¡Ê {0,1} and for every integer n ¡Ý 2, it is possible to find K and ¦£ as above for which the index of ¦£ in K is n. If g ¡Ý 2, then the index of ¦£ in K is at most 12(g-1). If K contains a Schottky subgroup of rank g ¡Ý 2 and index 12(g-1), then K is called a maximal virtual Schottky group. We provide explicit examples of maximal virtual Schottky groups and corresponding explicit Schottky normal subgroups of rank g ¡Ý 2 of lowest rank and index 12(g-1). Every maximal Schottky extension Schottky group is quasiconformally conjugate to one of these explicit examples. Schottky space of rank g, denoted by Sg, is a finite dimensional complex manifold that parametrizes quasiconformal deformations of Schottky groups of rank g. If g ¡Ý 2, then Sg has dimension 3(g-1). Each virtual Schottky group, containing a Schottky group of rank g as a finite index subgroup, produces a sublocus in Sg, called a Schottky strata. The maximal virtual Schottky groups produce the maximal Schottky strata. As a consequence of the results, we see that the maximal Schottky strata is the disjoint union of properly embedded quasiconformal deformation spaces of maximal virtual Schottky groups. Un grupo de Schottky de rango g es un grupo Kleiniano puramente loxodr¨®mico, con regi¨®n de discontinuidad no vac¨ªa, e isomorfo al grupo libre de rango g. Un grupo de Schottky virtual es un grupo Kleiniano K que contiene un grupo de Schottky ¦£ como subgrupo de ¨ªndice finito. En tal caso, sea g el rango de ¦£. El grupo K es un grupo Kleiniano elemental si y s¨®lo si g ¡Ê {0,1}. M¨¢s a¨²n, para cada g ¡Ê {0,1} y para cada entero n ¡Ý 2, es posible construir ¦£ and K de manera que ¦£ tenga ¨ªndice n en K. Si g ¡Ý 2, entonces el ¨ªndice de ¦£ en K es a lo m¨¢s 12(g-1). Si K contiene un subgrupo de Schottky de rango g ¡Ý 2 e ¨ªndice 12(g-1), entonces K es llamado un grupo de Schottky virtual maximal. Proveemos ejemplos expl¨ªcitos de grupos de Schottky virtuales maximales y correspondientes subgrupos de Schottky normales de rango g ¡Ý 2 e ¨ªndice 12(g-1). Todo grupo de Schottky virtual maximal es cuasiconformemente conjugado a uno de estos ejemplos. El espacio de Schottky de rango g, denotado por Sg, es una variedad compleja finito dimensional que parametriza
%K Grupos de Schottky
%K grupos Kleinianos
%K automorfismos
%K superficies de Riemann
%K Schottky groups
%K Kleinian groups
%K Automorphisms
%K Riemann surfaces
%U http://www.scielo.org.co/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0034-74262010000100004