%0 Journal Article
%T Fermat and Pythagoras Divisors for a New Explicit Proof of Fermat&amp;#8217;s Theorem:<i>a</i><sup>4</sup> + <i>b</i><sup>4</sup> = <i>c</i><sup>4</sup>. Part I
%A Prosper Kouadio Kimou
%A Fran&#231
%A ois Emmanuel Tano&#233
%A Kouassi Vincent Kouakou
%J Advances in Pure Mathematics
%P 303-319
%@ 2160-0384
%D 2024
%I Scientific Research Publishing
%R 10.4236/apm.2024.144017
%X In this paper we prove in a new way, the well known result, that Fermat&amp;#8217;s equation&lt;i&gt; &lt;/i&gt;&lt;i&gt;a&lt;/i&gt;&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; + &lt;i&gt;b&lt;/i&gt;&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = &lt;i&gt;c&lt;/i&gt;&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;, is not solvable in &lt;math display=&#39;inline&#39; xmlns=&#39;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&#39;&gt;  &lt;mi&gt;&amp;#x2115;&lt;/mi&gt; &lt;/math&gt;  , when &lt;math display=&#39;inline&#39; xmlns=&#39;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&#39;&gt;  &lt;mrow&gt;   &lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;c&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#x2260;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt; &lt;/math&gt;  . To show this result, it suffices to prove that: &lt;math display=&#39;inline&#39; xmlns=&#39;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&#39;&gt;  &lt;mrow&gt;   &lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;    &lt;mrow&gt;     &lt;msub&gt;      &lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;      &lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;     &lt;/msub&gt;     &lt;/mrow&gt;   &lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;    &lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;    &lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;    &lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;   &lt;/msubsup&gt;   &lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;    &lt;mrow&gt;     &lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;      &lt;mrow&gt;       &lt;msup&gt;        &lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;        &lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;       &lt;/msup&gt;       &lt;msub&gt;        &lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;        &lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;       &lt;/msub&gt;       &lt;/mrow&gt;     &lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;    &lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;   &lt;/msup&gt;   &lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;    &lt;mi&gt;c&lt;/mi&gt;    &lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;    &lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;   &lt;/msubsup&gt;   &lt;/mrow&gt; &lt;/math&gt;  , is not solvable in &lt;math display=&#39;inline&#39; xmlns=&#39;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&#39;&gt;  &lt;mi&gt;&amp;#x2115;&lt;/mi&gt; &lt;/math&gt;  ,  (where &lt;math display=&#39;inline&#39; xmlns=&#39;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&#39;&gt;  &lt;mrow&gt;   &lt;msub&gt;    &lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;    &lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;   &lt;/msub&gt;   &lt;mn&gt;,&lt;/mn&gt;&lt;msub&gt;    &lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;    &lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;   &lt;/msub&gt;   &lt;mn&gt;,&lt;/mn&gt;&lt;msub&gt;    &lt;mi&gt;c&lt;/mi&gt;    &lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;   &lt;/msub&gt;   &lt;mo&gt;&amp;#x2208;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mi&gt;&amp;#x2115;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt; &lt;/math&gt;  , pairwise primes, with necessarly &lt;math display=&#39;inline&#39;
%K Factorisation in &#8484
%K Greatest Common Divisor
%K Pythagoras Equation
%K Pythagorician Triplets
%K Fermat's Equations
%K Pythagorician Divisors
%K Fermat's Divisors
%K Diophantine Equations of Degree 2
%K 4-Integral Closure of &#8484
%K in &#8474
%U http://www.scirp.org/journal/PaperInformation.aspx?PaperID=132813